Practica por temas

Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función derivable definida por $$f(x) = \begin{cases} a - x & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{b}{x} + \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano.

Dada la función $$f(x) = \sqrt{\ln (3^x + x) + \ln (x^2 - 10x + 20)}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in \{1, 2\}$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Un espejo plano, cuadrado, de $80\,\text{cm}$ de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos $32\,\text{cm}$ y $40\,\text{cm}$ respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular $R$, uno de cuyos vértices es el punto $(x, y)$ (véase la figura).

Determinad qué relaciones deben existir entre $a, b, c$ y $d$ para que se verifique $AM = MA$, siendo $A$ y $M$ las matrices siguientes: $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

Se quiere construir una Casa de la Juventud de $240\,\text{m}^2$ de superficie, que estará rodeada por una zona ajardinada con las dimensiones de la imagen. Si se quiere minimizar la superficie total de la zona ajardinada, ¿qué dimensiones debe tener la Casa de la Juventud? ¿Cuál es el área de la zona ajardinada?