Practica por temas

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, obtenga las matrices $X$ que cumplen la igualdad $AX + B^2 - 2A = 0$.

Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función de los valores del parámetro $\alpha$: $$\begin{cases} \alpha x + y + z = 2, \\ x + 2y + (\alpha-1)z = -1, \\ 2x + y + (\alpha-2)z = 1. \end{cases}$$ **(0,5 p)** Resuelve el sistema, si es posible, en el caso $\alpha = 1$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x + 2y + (m + 3)z = 3 \\ x + y + z = 3m \\ 2x + 4y + 3(m + 1)z = 8 \end{cases}$$

Una empresa fabrica tres tipos de bombilla: A, B y C. La bombilla tipo A tiene 10 puntos LED, la tipo B tiene 20 puntos LED, y la tipo C tiene 50 puntos LED. El nombre de bombillas de 10 puntos LED fabricadas diariamente es $\lambda$ veces el número de bombillas de 50 puntos LED. A la empresa le interesa saber cuántas bombillas de cada tipo puede fabricar diariamente.

Calcule la matriz $X = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & 0 \end{pmatrix}$ que cumple la ecuación $$X \cdot X^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},$$ donde $X^t$ es la matriz traspuesta de $X$.