Practica por temas

Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $a$.

Resuelva el sistema para el caso $a = 2$.

Determina todas las soluciones del sistema de ecuaciones $$\begin{cases} \operatorname{sen} x - \cos y = 1 \\ \operatorname{sen} x + \cos y = 0 \end{cases}$$

Halla $$\int \frac{x}{e^x} dx$$

Sea $\lambda$ un parámetro real cualquiera y considere la matriz y vector siguientes: $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & \lambda \\ -5 & -\lambda & -5 \\ \lambda & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

Sean $F_1, F_2$ y $F_3$ la primera, segunda y tercera filas, respectivamente, de una matriz $M$ de orden $3 \times 3$ cuyo determinante es $-2$. Calcule el determinante de una matriz cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente: $5F_1 - F_3, 3F_3$ y $F_2$.

Propiedades del producto de matrices (solo enunciarlas).

Sean $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $N = M + I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden $n$, calcule $N^2$ y $M^3$. ¿Son $M$ o $N$ inversibles? Razone la respuesta.