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Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Bolzano.

¿Se puede asegurar, empleando el teorema de Bolzano, que la función $f(x) = \tg(x)$ tiene una raíz en el intervalo $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$? Razone la respuesta. Esboce la gráfica de $f$ en ese intervalo. Nota: $\tg$ denota la función tangente.

Estudie los máximos y los mínimos, y las zonas de crecimiento y de decrecimiento.

¿Esta función tiene asíntotas? Haga un esbozo de su gráfica.

Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $y = f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Indica los valores de $m$ para los que $A$ es invertible.

Resuelve la ecuación matricial $X A - B^t = C$ para $m = 0$. ($B^t$ es la matriz traspuesta de $B$).

Enuncie el teorema de Bolzano.

Utilizando el teorema de Bolzano, encuentre un intervalo de la recta real en el que la función polinómica $p(x) = 3x^3 - x + 1$ tenga alguna raíz.

Utilizando el teorema de Bolzano, demuestre que las gráficas de las funciones $f(x) = e^x + \ln(1 + x^2)$ y $g(x) = e^x + 1$ se cortan en algún punto.