Practica por temas

Sea la función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$f(x) = \begin{cases} e^x(x^2 + ax) & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{bx^2 + c}{x + 1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Calcula las constantes $a$, $b$ y $c$ sabiendo que $f$ es derivable y que la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$ tiene pendiente $3$.

De la función $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$ se sabe que su gráfica pasa por el punto $(1, 0)$ y que tiene un extremo en $x = 0$ de valor $1$.

Se quiere construir una Casa de la Juventud de $240\,\text{m}^2$ de superficie, que estará rodeada por una zona ajardinada con las dimensiones de la imagen. Si se quiere minimizar la superficie total de la zona ajardinada, ¿qué dimensiones debe tener la Casa de la Juventud? ¿Cuál es el área de la zona ajardinada?

Determina la única función derivable $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumple que $f(0) = 1, f'(0) = 1$ y $f''(x) = e^x(x + 2)$.

Se da la función $f$ definida por $f(x) = x^2 + |x|$, donde $x$ es un nombre real cualquiera y $|x|$ representa el valor absoluto de $x$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: