Practica por temas

Se divide un alambre de $100\,\text{m}$ de longitud en dos segmentos de longitud $x$ y $100 - x$. Con el de longitud $x$ se forma un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea $f(x)$ la suma de las áreas. ¿Para qué valor de $x$ dicha suma es mínima?

Dado el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} y + z = 1 \\ (m - 1)x + y + z = m \\ x + (m - 1)y - z = 0 \end{cases}$$

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{1}{2x} + \ln x$ para $x > 0$ ($\ln$ denota el logaritmo neperiano).

Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?

Dada la función real de variable real definida sobre su dominio como $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{2 + x^2} & \text{si } x \leq -1 \\ \frac{2x^2}{3 - 3x} & \text{si } x > -1 \end{cases}$, se pide: