Practica por temas

Se quiere vallar una finca rectangular que está junto a un camino. La valla del lado del camino cuesta $125$ euros el metro, y la de los otros tres lados cuesta $25$ euros el metro. Hallar el área del terreno de mayor superficie que podemos vallar con $3000$ euros.

Halla las tangentes a la gráfica de la función $f(x) = \frac{2x}{x - 1}$ que son paralelas a la recta $2x + y = 0$.

Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{1 + 2x - e^{2x}}$.

Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x) = x(\ln x - 1)$. Calcule, si existen, los máximos y mínimos relativos de la función $f$.

Determine, si existen, todos los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función que aparece a continuación sea continua: $$f(x) = \begin{cases} a e^x & \text{si } x < 0 \\ 1 - x^2 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ b(1 - e^{x-1}) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$

Considere ahora que $a = 1$. Usando la definición de derivada, estudie si la función es derivable en $x = 0$.

Determine: $$\lim_{x \to +\infty} (\ln(x))^{\frac{1}{e^x}}$$

Determine: $$\int \frac{(\ln(x))^2}{\sqrt{x}} dx$$

Estudie su compatibilidad según los valores de $a$.

Resuélvalo cuando $a = 0$.