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La temperatura diurna en el Parque Nacional de las Cañadas del Teide durante el mes de agosto sigue una distribución normal. La temperatura media durante el día es de $22^{\circ}\text{C}$ con desviación típica de $5^{\circ}\text{C}$. Además, se sabe que las condiciones ideales para realizar senderismo es cuando la temperatura diurna se sitúa entre $18^{\circ}\text{C}$ y $25^{\circ}\text{C}$. Si se superan los $30^{\circ}\text{C}$, los excursionistas tendrían un riesgo elevado de insolación. Mientras que, si la temperatura se sitúa por debajo de los $15^{\circ}\text{C}$, existe riesgo de cambios meteorológicos bruscos previstos para ese día. Se está elaborando una guía informativa para los servicios de emergencia.

Para $a \in (0, +\infty)$ determina el dominio y estudia la continuidad y derivabilidad de la función: $$f(x) = \begin{cases} 1 + a^x & \text{si} \quad x \leq 0 \\ \ln(x^2 + a) & \text{si} \quad x > 0 \end{cases}$$ Describe la función derivada $f'(x)$.

Considera las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = \frac{1}{x}$.

Determinar los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que las funciones $f(x) = ax^2 + b$ y $g(x) = x^2 + x + a$ sean tangentes en el punto de abcisa $x = -1$. Para los valores obtenidos de $a$ y $b$, calcular la recta tangente a las curvas en $x = -1$.