Practica por temas

Estudiar derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista $$f(x) = \begin{cases} 1 + \sen^2 x, & \text{si } x \leq 0 \\ \sqrt{x^3 + 1}, & \text{si } 0 < x < 1 \\ e^{x^2 - 1}, & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$

De la función polinómica $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2$ sabemos que: — tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = -3$; — la integral definida en el intervalo $[0, 1]$ vale $-\frac{5}{4}$. Calcule el valor de los parámetros $a$ y $b$.

Sea la función $f(x) = \left(1 + \sen \frac{\pi x}{2}\right)^x$.

Queremos hacer un envase de helado con forma de prisma regular de base cuadrada y con una capacidad de $80\,\text{cm}^3$. Para elaborar la tapa y la superficie lateral, utilizaremos un material determinado que cuesta $1\,€/\text{cm}^2$, pero para la base tendremos que utilizar un material que es un $50\,\%$ más caro.

Considera la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (x - a)e^x$.