Practica por temas

4A) Un vidriero está reparando una de las vidrieras de La Sagrada Familia cuya forma es la de la parte sombreada de la figura adjunta. Se ha dado cuenta de que Gaudí lo diseñó de forma que uno de los lados sigue la función $y = f(x) = 3 \cdot \operatorname{sen} \dfrac{x}{4}$ y otro sigue la función $y = g(x) = 3 \cdot \cos \dfrac{x}{4}$, donde $x$ e $y$ están expresadas en metros.

Considera la función $f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}$ definida por: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ cx & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}$$

La curva $y = x^2$ y la recta $y = k$, con $k > 0$, determinan una región plana.

Calcule:

Se tiene una abrevadero de longitud 6 m y de altura 1 m. Su sección es la descrita en la figura formada por la función y = x². Por h indicamos la altura del nivel del líquido. a) Comprueba que el área de la región S, sombreada en la figura, en función de h se puede expresar como S(h) = (4h√h)/3. (1.5 puntos) b) Determina la altura h donde se alcanza la mitad del volumen total del abrevadero. (Nota: Volumen = S × longitud). (1 punto)