Practica por temas

Calcule el área del triángulo ABC.

Calcule la ecuación de la recta (en cualquiera de sus formas) contenida en el plano que forman A, B y C que, pasando por A, es perpendicular al lado BC.

¿Puede haber dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ de $\mathbb{R}^3$ tales que $\vec{u} \cdot \vec{v} = -3$, $|\vec{u}| = 1$ y $|\vec{v}| = 2$?

Hallar el valor de $a$ para que exista una recta que pase por el punto $P = (1 + a, 1 - a, a)$, corte a la recta $r \equiv \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$ y sea paralela a la recta $s \equiv \begin{cases} x + z = 0 \\ y = 0 \end{cases}$.

Determina la ecuación del plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$.

Calcula la distancia entre $r$ y $\pi$.

Calcule la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular a la recta $AB$ y que pasa por el punto medio entre $A$ y $B$. Justifique que este plano está formado, precisamente, por los puntos $P = (x, y, z)$ que están a igual distancia de $A$ que de $B$, es decir, $d(P, A) = d(P, B)$.

Calcule las distancias de $A$ y de $B$ al plano $\pi$ y compruebe que son iguales. ¿Es casualidad? Razone la respuesta.

Sea $C = (-7, 6, 3)$. ¿El triángulo $ABC$ es isósceles? Calcule su área.