Practica por temas

Calcule la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular a la recta $AB$ y que pasa por el punto medio entre $A$ y $B$. Justifique que este plano está formado, precisamente, por los puntos $P = (x, y, z)$ que están a igual distancia de $A$ que de $B$, es decir, $d(P, A) = d(P, B)$.

Calcule las distancias de $A$ y de $B$ al plano $\pi$ y compruebe que son iguales. ¿Es casualidad? Razone la respuesta.

Sea $C = (-7, 6, 3)$. ¿El triángulo $ABC$ es isósceles? Calcule su área.

Obtenga el punto $P'$ simétrico de $P$ respecto de $\pi$.

Halle el punto de corte del plano $\pi$ con la recta que pasa por $P$ y $P'$.

Verifique que los puntos $P$ y $Q$ pertenecen al plano $\pi$.

Halle una recta paralela a $r$ contenida en el plano $z = 0$.

Halle una recta que pase por $P$ y tal que su proyección ortogonal sobre el plano $\pi$ sea la recta $r$, con la cual forme un ángulo de $\frac{\pi}{4}$ radianes.

Hallar la ecuación del plano $\pi_1$ que pasa por los puntos $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 1)$.

Hallar la ecuación del plano $\pi_2$ que contiene al punto $P(1, 2, 3)$ y es perpendicular al vector $\vec{v}(-2, 1, 1)$.

Hallar el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $P$.