Practica por temas

Estudie la posición relativa del plano $\pi$ y de la recta $r$ en función del parámetro $a$.

Se sabe que cuando $a = 0$ la recta $r$ es paralela al plano $\pi$. Para ese valor de $a$: Calcule la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$.

Calcule la ecuación general (o implícita) del plano que contiene a la recta $r$ y es paralelo al plano $\pi$.

Definición e interpretación geométrica del producto vectorial de dos vectores en $\mathbb{R}^3$.

Calcula los vectores unitarios y perpendiculares a los vectores $\vec{u} = (1, -2, 2)$ y $\vec{v} = (1, 0, 1)$.

Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por el punto $(1, 1, 1)$ y los vectores $\vec{u} = (1, -2, 2)$ y $\vec{v} = (1, 0, 1)$.

Si $\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, el sistema es compatible determinado y la solución es $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Si $\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, el sistema es compatible indeterminado.

Resuelve el sistema para $\alpha = 1$.

Determina, si existe, el valor de $\alpha$ para el que $(x, y, z) = (1, -3, \alpha)$ es la única solución del sistema dado.

Describa la posición relativa de $\Pi$ y $r$.

Calcule el ángulo formado por $\Pi$ y $r$ (si no posee calculadora, puede dejar indicado el resultado final).

Dé un ejemplo de una recta que corte a $r$, una recta que sea paralela y distinta de $r$ y una recta que se cruce con $r$. Al menos una de esas rectas debe darse mediante sus ecuaciones implícitas (generales).