Practica por temas

En $\mathbb{R}^3$ se consideran las rectas de ecuaciones: $$r: \begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2z = -8 \end{cases}, \quad \quad s: \frac{x + 1}{-2} = \frac{y - 3}{a} = \frac{z - 1}{-1}$$

Dadas las funciones $f(x) = 1 + ex - x^2$ y $g(x) = e^x$, encuentra los dos puntos en que se cortan y calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$.

Una empresa de construcción necesita comprar diferentes materias primas para elaborar sus productos. Se construyen 4 productos diferentes, los cuales requieren una cierta cantidad de madera (que tiene un costo de $x$ €/kg), de hierro (que tiene un costo de $y$ €/kg) y de plástico (que tiene un costo de $z$ €/kg). Para la elaboración de los diferentes productos se ha recopilado la siguiente información sobre el coste en materias primas: Producto 1: $2x + y - z = 40$ € Producto 2: $x - y + 2z = 90$ € Producto 3: $x + 2y = 70$ € Producto 4: $x - y + z = 50$ €

Se dan el plano $\pi: 2x + y - z - 5 = 0$ y los puntos $A(1, 2, -1)$, $B(2, 1, 0)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: