Practica por temas

Considérense el plano $\pi: ax + y + z = 1$, donde $a$ es un parámetro real y la recta $r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{3}$. Estudie la posición relativa de $\pi$ y $r$ en función de $a$ y obtenga el valor de $a$ que hace que $\pi$ y $r$ sean perpendiculares. Por último, razone si $r$ puede estar contenida en $\pi$ o no.

Si $\pi: -3x + y + z = 1$, diga qué valor tiene que tomar $b$ para que $r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - b}{3} = \frac{z + 1}{3}$ esté contenida en $\pi$.

Esboza el recinto limitado por la gráfica de $f$ y las rectas $x = 2$, $y = x$.

Determina el área del recinto anterior.

Si en una primera prueba el vehículo tiene que circular a más de 3 decenas de kilómetros por hora, ¿a qué velocidad debe ir el vehículo para obtener un consumo mínimo?

Si en otra prueba el vehículo debe circular a una velocidad $v$ tal que $1 \leq v \leq 8$, ¿cuáles serían el máximo y el mínimo consumo posibles del vehículo?

Calcule el área de la región encerrada por el eje $X$ y la gráfica de $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}x + 1 & \text{si } x < 0 \\ (x - 1)^2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

Calcule $\int x \sqrt{x^2 - 1} \, dx$