Practica por temas

En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones siguientes: $$\pi \equiv \begin{cases} x = 1 + t + 4s \\ y = 1 + s \\ z = 3 - 2t - 5s \end{cases}; \quad r_1 \equiv \frac{x + 4}{5} = \frac{y + 5}{6} = \frac{z - 1}{0}; \quad r_2 \equiv \begin{cases} 4x + 3y = 7 \\ y + 4z = 5 \end{cases}$$

Calcular justificadamente:

La proyección ortogonal del punto $P(1, 0, -1)$, sobre el plano $\pi$ es el punto $Q(-3, 2, 5)$. Halla la ecuación del plano $\pi$ y las coordenadas del punto simétrico del $P$ respecto a dicho plano $\pi$.

Sean en $\mathbb{R}^3$ el punto $P = (2, 3, 3)$ y la recta $r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, 1, 1)$.

Consideremos el cubo que aparece a la figura adjunta. Supongamos que el punto $C$ tiene coordenadas $(1, 1, 1)$, las aristas del cubo son paralelas a los ejes coordenados (o sea, la arista $AE$ es paralela al eje $X$, la arista $AD$, al eje $Y$ y la arista $AB$, al eje $Z$) y los lados del cubo tienen longitud 2.