Practica por temas

1º) Una familia quiere comprar un terreno para hacerse una casa rodeada de acantilados con vistas al mar. En esa zona de la costa, los acantilados siguen las rectas de ecuaciones $y = 0$ e $y = 3x$. Además, la familia quiere que el terreno sea triangular y que el tercer lado del triángulo pase por el punto $P(1, 1)$, tal y como puede verse en la figura.

Dada la matriz $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ 2 & -k & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$

Consideramos la función $f(x) = e^{x - 3} - x - 2$, para $x \ge 0$.

Sea la función $f(x) = \begin{cases} a \sqrt{x} + bx & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \\ c \ln x & \text{si } 1 < x \end{cases}$. Hallar $a$, $b$ y $c$ sabiendo que $f(x)$ es continua en $(0, \infty)$, la recta tangente a $f(x)$ en el punto de abscisa $x = \frac{1}{16}$ es paralela a la recta $y = -4x + 3$, y se cumple que $\int_{1}^{e} f(x) dx = 2$.

Halla $a$ y $b$ sabiendo que es continua la función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $$f(x) = \begin{cases} \frac{x + \cos(x) - a e^x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ b & \text{si } x = 0 \end{cases}$$