Practica por temas

Sabiendo que $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ a & b & c \end{vmatrix} = \frac{1}{2}$, calcula razonadamente el determinante de la matriz $$A = \left( \begin{pmatrix} 4a + 2 & 4b + 4 & 4c + 6 \\ 3a & 3b & 3c \\ a + 4 & b & c + 5 \end{pmatrix} \right)^2.$$

Sea $A$ una matriz invertible $n \times n$ con coeficientes reales tal que cumple la igualdad $A^2 + A = I$.

Un triángulo equilátero de vértices $A$, $B$ y $C$ tiene los lados de $8\,\text{cm}$. Situamos un punto $P$ sobre una de las alturas del triángulo, a una distancia $x$ de la base correspondiente.

Se sabe que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 1,$$ tiene un punto crítico en $x = 2$ y que la recta normal a su gráfica en el punto de abscisa $x = 1$ es $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. Calcula $a$, $b$ y $c$.

Resolver la siguiente integral: $$\int (x + 5) e^{3x} dx$$