Practica por temas

Se da el sistema de ecuaciones $\begin{cases} ax - z = a \\ 2x + ay + z = 1 \\ 2x + z = 2 \end{cases}$, donde $a$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Calcula razonadamente el área de la región determinada por la curva $f(x) = (x - 1)(x + 2)$, las rectas $x = -3$, $x = 2$ y el eje de abscisas. Esboza dicha región. b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$.

Dada la función $$f(x) = e^{1 + 2x - x^2}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = -e$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Considere las rectas $y = x$ y $y = 2x$, y la parábola $y = x^2$.

Sea la igualdad matricial $M \cdot X = N$, donde $M = \begin{pmatrix} k & 2k & 2 \\ -1 & k & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $N = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$