Practica por temas

Se consideran los vectores $\vec{u} = (-1, 2, 3)$, $\vec{v} = (2, 0, -1)$ y el punto $A(-4, 4, 7)$. Se pide:

Dada la función $$f(x) = (1 - x) \cos(\pi x^3)$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (0, 1)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{1}{2}$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Dada la función $$f(x) = \frac{ax^2 + b}{2x + 6},$$ calcula los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ sabiendo que: • $f(x)$ tiene una asíntota oblicua de pendiente 2 • $f(x)$ tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa $x = 0$.

Aythami tiene un sobre donde guarda el dinero que ha podido reunir, el sobre contiene: 4 billetes de 5€, 6 billetes de 10€ y 2 billetes de 50€. Quiere comprar algunas cosas y decide dejar al azar cuánto dinero va a coger del sobre. Para ello, saca aleatoriamente, sin reemplazamiento y de forma consecutiva, dos billetes del sobre.

La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de un rectángulo, de forma que los vértices del rombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo. El perímetro del rectángulo es de $100$ metros. Calcular las longitudes de sus lados para que el área del rombo inscrito sea máxima.