Practica por temas

Encuentra los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones: $$f(x) = \ln x \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{x - 1}{e - 1}$$ Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.

La temperatura diurna en el Parque Nacional de las Cañadas del Teide durante el mes de agosto sigue una distribución normal. La temperatura media durante el día es de $22^{\circ}\text{C}$ con desviación típica de $5^{\circ}\text{C}$. Además, se sabe que las condiciones ideales para realizar senderismo es cuando la temperatura diurna se sitúa entre $18^{\circ}\text{C}$ y $25^{\circ}\text{C}$. Si se superan los $30^{\circ}\text{C}$, los excursionistas tendrían un riesgo elevado de insolación. Mientras que, si la temperatura se sitúa por debajo de los $15^{\circ}\text{C}$, existe riesgo de cambios meteorológicos bruscos previstos para ese día. Se está elaborando una guía informativa para los servicios de emergencia.

Demuestra que existe $\alpha \in (0, 2)$ tal que $f'(\alpha) = -\frac{1}{3}$, siendo $$f(x) = (x + 1)^{(x - 1) \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Considere la función $f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 - 1}$

Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} \lambda & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & \lambda \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$ y $F = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, se pide: