Practica por temas

¿Qué significa geométricamente que tres vectores del espacio tridimensional sean linealmente dependientes?

Dados los vectores $\vec{u}_1 = (1, 2, 1)$, $\vec{u}_2 = (1, 3, 2)$, $\vec{v}_1 = (1, 1, 0)$ y $\vec{v}_2 = (3, 8, 5)$, demuestre que los vectores $\vec{u}_1$ y $\vec{u}_2$ dependen linealmente de los vectores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$. Determine la ecuación general del plano que pasa por el origen y contiene los vectores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$, y determine la posición relativa de los vectores $\vec{u}_1$ y $\vec{u}_2$ respecto a ese plano.

Si $A$ y $B$ son dos matrices para las que $\det(A + B) = \det A + \det B$, pruebe que entonces $\det[(A + B)^2] = \det(A^2) + \det(B^2) + 2 \cdot \det(AB)$.

Dadas las matrices $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ a & 1 & 0 \\ 2 & -1 & a \end{pmatrix}$ y $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, determine el único valor de $a$ con el que sí se cumple la igualdad $\det(C + D) = \det C + \det D$.

Para el valor $a = -1$, resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones lineales que tiene a $C$ como matriz de coeficientes.

Si juega 100 veces, calcular la probabilidad de que gane en más de la mitad de las ocasiones.

Si juega 200 veces, un jugador afirma que la probabilidad de ganar entre 90 y 110 veces es menor que $3/4$. Justificar si esta afirmación es cierta o no.