Practica por temas

Se sabe que la función $G(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + bx + 5$ es una primitiva de una función $g$, donde $a, b \in \mathbb{R}$ son valores desconocidos, pero constantes. Se pide:

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 2$ y $g(x) = x$.

Sean $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las funciones definidas por: $$f(x) = 4 - 3|x| \qquad \text{y} \qquad g(x) = x^2$$

a) Dados los vectores $\vec{u} = (2,1,0)$, $\vec{v} = (5,0,1)$ y $\vec{w} = (a,b,1)$, calcular $a$ y $b$ para que $\vec{u}$ y $\vec{w}$ sean perpendiculares y además los tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean linealmente dependientes. (1 punto) b) Calcular el volumen del paralelepípedo que forman $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{z} = (1,2,1)$. (1 punto)

Se tiene una abrevadero de longitud 6 m y de altura 1 m. Su sección es la descrita en la figura formada por la función y = x². Por h indicamos la altura del nivel del líquido. a) Comprueba que el área de la región S, sombreada en la figura, en función de h se puede expresar como S(h) = (4h√h)/3. (1.5 puntos) b) Determina la altura h donde se alcanza la mitad del volumen total del abrevadero. (Nota: Volumen = S × longitud). (1 punto)