Practica por temas

Enuncia el teorema de Rolle. Calcula $a$, $b$ y $c$ para que la función $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + ax & \text{si } x < 1 \\ bx + c & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$ cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0, 2]$ y calcula el punto en el que se cumple el teorema.

Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola $y = x^2 - 2x$ y la recta $y = x$. (Para el dibujo de la parábola, indica: puntos de corte con los ejes de coordenadas, el vértice y concavidad o convexidad).

Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las gráficas de esas tres funciones.

Calcular el área de dicho recinto.

Una empresa de mantenimiento da servicio a empresas de dos polígonos industriales (el polígono Campo y el polígono Llano). El $30\%$ de las reparaciones se realizan en el polígono Campo mientras que el $70\%$ se realiza en el polígono Llano. Además, en el polígono Campo el $10\%$ de las reparaciones son de tipo mecánico y el $90\%$ de tipo eléctrico. En el polígono Llano el $30\%$ de las reparaciones son de tipo mecánico y el resto de tipo eléctrico.

El famoso piloto de carreras Fernando Osnola es capaz de completar una vuelta a un circuito en un tiempo que sigue una distribución normal de media $1{,}5$ minutos y desviación típica $0{,}15$ minutos.

Calcula $a$ y $b$ para que la gráfica de $f$ pase por el punto $(2, 3)$ y tenga una asíntota oblicua con pendiente $-4$.

Para el caso $a = 2$, $b = 3$, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Dibujar el recinto acotado por sus gráficas.

Hallar el área de dicho recinto.