Practica por temas

En un acuario, el estudio de la evolución de la población de peces se ha modelado según la función $t \to P(t)$, $$P(t) = \sqrt{t + 1} - \sqrt{t},$$ donde la variable $t$, que es un número real mayor o igual que cero, mide el número de años transcurridos desde el 1 de enero del año 2000 y $P(t)$ indica el número de individuos, en miles, en el instante de tiempo $t$.

Halla cada uno de los puntos de la recta $r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$ de manera que junto con los puntos $A(1, 1, 0)$, $B(1, 0, 1)$ y $C(0, 1, 1)$ formen un tetraedro de volumen $\frac{5}{6}$.

Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función diferenciable tal que $f'(x) = 2x$ para todo número real, y $f(-3) = 7$.

Sea la función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$f(x) = \begin{cases} e^x(x^2 + ax) & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{bx^2 + c}{x + 1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Calcula las constantes $a$, $b$ y $c$ sabiendo que $f$ es derivable y que la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$ tiene pendiente $3$.

Dada la función polinómica $$P(x) = \frac{x^4}{2} - x^3 + \frac{x^2}{2}$$