Practica por temas

Dados el punto $A(1, 1, 2)$ y las rectas $r \equiv x = \frac{y + 2}{2} = z - 1$ y $s \equiv \begin{cases} x + y = 0 \\ x + z = 2 \end{cases}$, se pide:

Calcule $\alpha$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga más soluciones que la trivial. Resuélvalo para dicho valor de $\alpha$ y dé una interpretación geométrica del sistema de ecuaciones y de su solución. $$\begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ 2x + y - \alpha z = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases}$$

Considera la recta $r$ definida por $\frac{x - 2}{a} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z + 1}{2}$ y el plano $2x - y + bz = 0$. Determinar los valores de $a$ y $b$ en los siguientes casos:

Dadas las matrices $A$ y $B$, halla la matriz $X$ que cumple $AX = B$. $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Calcule el valor de la integral $$\int_{1}^{2} \left(\frac{x - 1}{8}\right)^{2/3} dx$$