Practica por temas

Determine el límite: $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( \frac{5x + 1}{2x - 1} - \frac{3}{2} \right)^{\frac{2x^2 + 1}{x - 1}}$$

Usando el cambio de variable $t = \cos(x)$, calcule: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sen(x) \cos(x)}{1 - \cos(x)} dx$$

Queremos construir una ventana con la forma de la figura que aparece debajo, es decir rectangular en la parte inferior y semicircular en la superior (la parte superior es un semicírculo completo). Sabiendo que el perímetro total de la ventana son $5$ metros, determine las dimensiones de la ventana para que la superficie de la misma sea máxima.

Escriba las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por el punto $(2, -1, 0)$. Es decir, de aquellas que tienen vector director $(v_1, v_2, v_3)$, donde $v_1, v_2, v_3 \in \mathbb{R}$ son parámetros.

De las rectas anteriores, escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que tiene vector director $(-1, 4, 1)$.

Calcula el dominio de la función $f$ y sus asíntotas.

Halla en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de $f$.

Justifique que su gráfica corta al eje de las abscisas en un punto del intervalo $[-2, 0]$. Dé un intervalo de longitud $0{,}5$ donde se encuentre este punto de corte.

Estudie las zonas de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los mínimos de $y = f(x)$. ¿Cuántos puntos de corte tiene exactamente la gráfica de esta función con el eje de las abscisas? Justifique la respuesta.