Practica por temas

Considera el punto $P(2, -1, 3)$ y el plano $\pi$ de ecuación $3x + 2y + z = 5$.

Dadas las funciones $f(x) = x^3$ y $g(x) = 2x^2 - x$, se pide:

Considere el sistema $$\begin{cases} x + (a - 1) y + z = 1 \\ a x + (2 a - 2) y + 2 z = 0 \\ (a + 1) x + (3 a - 3) y + (a + 3) z = 0 \end{cases}$$

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a^2 - 2)x + 2y + z = a + 2 \\ (a^2 - 2)x + 4y + (a + 1)z = a + 6 \\ (a^2 - 2)x + 2y + (2 - a)z = a + \sqrt{2} \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Se consideran los tres puntos $A(0, 0, 1)$, $B(1, 1, 1)$ y $C(-1, -1, 2)$. ¿Están alineados? En caso afirmativo hallar la ecuación de la recta que los contiene. En caso negativo calcular el plano que los contiene.