Practica por temas

Encuentra la ecuación continua de la recta $r$ que pasa por el punto $P \equiv (2, 3, -1)$ y es paralela a los planos $\pi_1 \equiv 2x - y + 3z - 1 = 0$ y $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 3 = 0$.

Sabiendo que $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ 6 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2,$$ calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes, indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes se está utilizando.

Sean $r, s$ las rectas en el espacio dadas, respectivamente, por $$r \equiv \begin{cases} 2x + y + z = 4 \\ x - y + z = 1 \end{cases} \quad s \equiv \begin{cases} x + z = 2 \\ x + 2y - 3z = a \end{cases}$$ Calcula para qué valores de $a$ las rectas se cortan en un punto. Halla dicho punto. Estudia la posición relativa que tienen las rectas para el resto de valores de $a$.

Considera los puntos $B(-1, 0, -1)$, $C(0, 1, -3)$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x = -\lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$

Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 \qquad \text{y} \qquad g(x) = 1$$