Practica por temas

Calcule todos los vectores $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ tales que $A\vec{v} = \vec{v}$.

Calcule la matriz inversa de $A$.

Sea $a$ un parámetro real cualquiera. Determine el rango de la matriz siguiente según los diferentes valores del parámetro $a$: $$A = \begin{pmatrix} a + 1 & -1 & a + 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & a \end{pmatrix}$$

Se considera una matriz de orden $3 \times 3$ cuyas columnas son $C_1, C_2$ y $C_3$ y cuyo determinante es $2$. Se define ahora la matriz $B$ cuyas columnas son $-C_2, C_3 + C_2$ y $3C_1$. Determine el determinante de la inversa de $B$, si existe.

Todos los valores reales $k$ para los que la matriz $B = A - kI$ tiene inversa.

La matriz inversa $B^{-1}$ cuando $k = 3$.

Las constantes reales $\alpha$ y $\beta$ para las que se verifica que $\alpha A^2 + \beta A = -2I$.

Comprobar razonadamente que la matriz $P = I - M$ cumple las relaciones: $P^2 = P$ y $MP = PM$.