Practica por temas

a) Calcula: $\lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x} + 1}{x e^x}$ b) Si $f$ es una función continua en el intervalo $[1,4]$ tal que $\int_1^2 f(x) dx = 2$ y $\int_1^4 f(x) dx = -4$, ¿cuál es el valor de $\int_2^4 5 f(x) dx$? Enuncia las propiedades de la integral definida que utilices.

Sea A una matriz de tamaño $3 \times 4$ tal que sus dos primeras filas son $(1, 1, 1, 1)$ y $(1, 2, 3, 4)$, y sin ningún cero en la tercera fila. En cada uno de los apartados siguientes, se pide poner un ejemplo de matriz A que verifique la condición pedida, justificándolo apropiadamente:

Calcule el valor de la integral definida $$\int_{0}^{1} \left(\frac{2x}{x^2 + 1} + (2x - 1) e^{x^2 - x} + 2\pi \sen(2\pi x)\right) dx$$

Sea $f$ la función $f(x) = x \cdot \sen(x)$. Calcule la primitiva de la función $f$ que pasa por el punto $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ (unidades en radianes).