Practica por temas

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a & a \\ 0 & a \end{pmatrix}$, calcule el valor de $a$ que hace que: $$A^2 = A^{-1} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Se administra una medicina a un enfermo y $t$ horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por $c(t) = t e^{-t/2}$ miligramos por mililitro. Determine el valor máximo de $c(t)$ e indique en qué momento se alcanza dicho valor máximo. Sabiendo que la máxima concentración sin peligro es de $1\,\text{mg/ml}$, señale si en algún momento hay riesgo para el paciente.

De entre todos los rectángulos de diagonal $10\,\text{cm}$ (cada una), calcula las dimensiones del que tiene mayor área.

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} \alpha & \alpha + 4 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha + 4 & \alpha \end{pmatrix}$

Dadas las siguientes matrices: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = A^T \cdot B + I_2,$$ donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$, e $I_2$ es la matriz identidad de orden 2.