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Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$ $$\begin{cases} x + ay + z = 2 \\ x + z = a \\ ax + 2y + z = 3 \end{cases}$$

Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 2$, si es posible.

Despeja la matriz $X$ de la ecuación anterior.

Halla los valores de $a$ para los que no es posible calcular $X$.

Calcula $X$ para $a = 1$.

Justifique razonadamente que una matriz 2-nilpotente nunca puede ser regular (o invertible).

Compruebe que la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & -9 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ es 2-nilpotente.

Determine para qué valores de $a$ y $b$ la matriz $A = \begin{pmatrix} 6 & a \\ 4 & b \end{pmatrix}$ es 2-nilpotente.

Halle los valores de $a, b, c, x$, para los cuales $A$ es simétrica (recuerde que la matriz $A$ es simétrica si $A^t = A$).

Si $a = b = c = 1$, halle los valores de $x$ para los cuales $A$ tiene inversa.

Calcula los posibles valores de $a, b, c$ para que la matriz $A = \begin{pmatrix} a & c \\ 0 & b \end{pmatrix}$ verifique la relación $(A - 2I)^2 = 0$ siendo $I$ la matriz identidad de orden 2 y $0$ la matriz nula de orden 2.

¿Cuál es la solución de un sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas, si la matriz de coeficientes es una matriz $A = \begin{pmatrix} a & c \\ 0 & b \end{pmatrix}$ verificando la relación $(A - 2I)^2 = 0$?

Para $a = b = c = 2$ calcula la matriz $X$ que verifica $A \cdot X = A^{-1} \cdot B$, siendo $B = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$.