Practica por temas

Dibuja las dos curvas $y = x^3 - 1$, $y = -x^2 + x$. Halla el área comprendida entre ambas.

Considera la función $$f(x) = \begin{cases} x \sen(2x) & \text{si } x \leq 0 \\ \cos(\pi x) - 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Calcula $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{1} f(x) dx$.

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + b} - 2 & \text{si } x \leq -\sqrt{2} \\ 2 - x^2 & \text{si } -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \\ x^2 \ln(x^2 - a) & \text{si } \sqrt{2} \leq x \end{cases}$$ donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano. Determinar si existen valores de los parámetros $a$ y $b$ para los que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$. Justificar la respuesta.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a - 3) x + (a - 2) y + 2 z = - 1 \\ (2 a - 6) x + (3 a - 6) y + 5 z = - 1 \\ (3 - a) x + (a - 2) z = a^2 - 4 a + 5 \end{cases}$$

Sea $f(x) = \frac{e^x + x}{e^x - x}$. Sabiendo que $e^x > x$ para todo número real $x$, para la función $f$ estudie: