Practica por temas

Se estudió el movimiento de un meteorito del sistema solar durante un mes. Se obtuvo que la ecuación de su trayectoria $T$ es $y^2 = 2x + 9$, siendo $-4{,}5 \leq x \leq 8$ y $y \geq 0$, estando situado el Sol en el punto $(0,0)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Según un determinado modelo, la concentración en sangre de cierto medicamento viene dada por la función $C(t) = te^{-t/2}$ mg/ml, siendo $t$ el tiempo en horas transcurridas desde que se le administra el medicamento al enfermo.

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{1}{2x} + \ln x$ para $x > 0$ ($\ln$ denota el logaritmo neperiano).

Consideremos la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c, & \text{si } x \leq 2 \\ \ln(x - 1), & \text{si } x > 2 \end{cases}$. Hallar los valores de $a, b$ y $c$ para que $f(x)$ sea continua en toda la recta real y tenga un extremo relativo en el punto $(1, -1)$.

Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones $$S = \begin{cases} x + y + \alpha z = 1 \\ x + \alpha y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$ en función del parámetro $\alpha$. Resolver en los casos de indeterminación.