Practica por temas

Utilizando el teorema de Bolzano y de Rolle, pruebe que la ecuación $\tg x = 2x$ tiene una única raíz real en el intervalo $\left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right]$.

Dado el sistema $$\begin{cases} k x + y = 1 \\ k y + z = 0 \\ 3 x - y - z = 0 \end{cases}$$ donde $k$ es un número real cualquiera.

Sean $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las funciones definidas mediante $$f(x) = |x(x - 2)| \quad \text{y} \quad g(x) = x + 4.$$

Considera el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x + ky + 2z = k + 1 \\ x + 2y + kz = 3 \\ (k + 1)x + y + z = k + 2 \end{cases}$$

**E6.- (Análisis)** Se considera la función $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Determinar el valor de los parámetros $A$, $B$ y $C$ tales que $f(-1) = 0$, la función $f$ presenta un extremo relativo en $x = 0$ y la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en $x = -1$ es paralela a la recta de ecuación $y + 3x = 0$. **(2 puntos)**