Practica por temas

Una empresa desea construir un aparcamiento cuya región sea un rectángulo más medio círculo, tal y como se ve en la figura adjunta. El rectángulo tiene de lados $h, r \in \mathbb{R}$, de manera que el radio del semicírculo es $h/2$. La empresa tiene solamente presupuesto para comprar una valla de 80 metros de perímetro para cercar el aparcamiento. La empresa desea construir el aparcamiento de mayor área posible con ese perímetro de 80 metros.

Considere un cono de $120\,\text{cm}^3$ de volumen que tiene una altura $h$, un radio de la base $x$ y una arista $a$, como el de la figura siguiente:

Calcula $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$. (Sugerencia: integración por partes).

Sea $f(x)$ una función positiva en el intervalo $[1, 5]$, así $f(x) \geq 0$ para $1 \leq x \leq 5$. Si el área limitada por $f(x)$, el eje de abscisas (eje $x$) y las rectas $x = 1$ y $x = 5$ es igual a $6$, calcula el área del recinto limitado por la función $G(x) = f(x) + 2$ y las mismas rectas.

Calcula $\int_{2}^{4} \frac{e^x}{1 + \sqrt{e^x}} dx$. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $t = \sqrt{e^x}$.