Practica por temas

Calcular las integrales indefinidas siguientes:

Sea $f(x) = x^2 \cdot e^{-ax}$ cuando $a \neq 0$.

Consideremos el rectángulo cuyos vértices son: $(0, 0), (x_0, 0), (x_0, f(x_0)), (0, f(x_0))$, tal y como indica la figura, donde $0 \leq x_0 \leq 1$ y $f(x) = 18 - 3x - 8x^2$.

Queremos construir una pieza metálica que tenga por sección un trapecio isósceles con la base superior tres veces más larga que la base inferior. Los otros lados del trapecio miden $10\,\text{mm}$, tal como se puede observar en la figura siguiente:

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \operatorname{sen}(x) - x e^x}{x^2}$ es finito, calcula el valor de $a$ y el de dicho límite.