Practica por temas

Análisis a) Calcule los límites lim(x→0) (x cos x)/(sin x) y lim(x→0⁺) x ln x, donde ln x es el logaritmo neperiano de x. b) Dibuje la gráfica de una función f continua y no negativa en el intervalo [0, 3] tal que: f(0) = 0, f(3) = 0, f'' > 0 en el intervalo (0, 1), f'' < 0 en el intervalo (2, 3) y f es constante en el intervalo (1, 2).

Demuestra que existe $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f(\alpha) = 0$, siendo $$f(x) = \frac{\ln \left[ x - 1 + \sen^2 \left(\frac{\pi x}{4}\right) \right]}{4x - x^2}$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Calcula $a$ y $b$ sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{a(1 - \cos(x)) + b \sen(x) - 2(e^x - 1)}{x^2} = 7$.

Considere la función $f(x)$ dada por $$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln x}{x - 1} & \text{si} & x > 0 \text{ y } x \neq 1 \\ a & \text{si} & x = 1 \end{cases}$$