Practica por temas

Con objeto de reducir el coste, una cooperativa de aceite quiere diseñar unos envases con forma de prisma de base cuadrada con un volumen de $1\,\text{dm}^3$ (tal como se muestra en la figura adjunta) pero que tengan la mínima superficie.

Calcular el punto más cercano al punto $P = (1, 0, -1)$ de entre todos los puntos del plano determinado por los puntos $Q = (2, 2, 1)$, $R = (0, 1, 2)$ y $S = (0, 0, 1)$. Calcular la distancia de punto $P$ al plano.

Se dan las rectas $r: \begin{cases} 2x - y + 5 = 0 \\ 6x - z + 8 = 0 \end{cases}$, $s: \begin{cases} x = 1 - 2\alpha \\ y = 2 + \alpha \\ z = 3 - \alpha \end{cases}$ y el plano $\pi: 2x + mz + 1 = 0$, siendo $m$ un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Dada la función $f(x) = x^2 e^{-x}$ estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y la existencia de máximos, mínimos y asíntotas.