Practica por temas

El vértice $A$ de un triángulo rectángulo está en la recta $r \equiv \begin{cases} x = 3 \\ y + z + 1 = 0 \end{cases}$ y su hipotenusa tiene los vértices en los puntos $B = (2, 1, -1)$ y $C = (0, -1, 3)$.

Una caja (prisma rectangular) tiene por dimensiones $A$, $2A$ y $3A$. Si disminuimos cada una de sus dimensiones en un $50\%$ ¿el volumen habrá disminuido en un $50\%$? ¿el área total habrá disminuido en un $50\%$? Razona las respuestas.

Dada la función $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x$, para $x \in \mathbb{R}$

Sea la función $f: [1, e] \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2 - 8 \ln(x)$ donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

Dadas las rectas secantes: $$r_1: \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 3 - 4\lambda \\ z = -2 + 3\lambda \end{cases} \quad (\lambda \in \mathbb{R}) \quad \text{y} \quad r_2: \begin{cases} -5x + y + z = 0 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$$ obtener las ecuaciones en forma continua y en forma paramétrica de la recta $s$ que pasa por el punto de intersección de las rectas dadas y es perpendicular a ambas, explicando el procedimiento utilizado.