Practica por temas

Sean las rectas $r = \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 5}{-1} = \frac{z - 2}{4}$ y $s = \begin{cases} x - y - z = 2 \\ 2x + 2y - z = 4 \end{cases}$

Dentro de un triángulo rectángulo, de catetos $3$ y $4$ cm, hay un rectángulo. Dos lados del rectángulo están situados en los catetos del triángulo y uno de los vértices del rectángulo está en la hipotenusa del triángulo.

Determina para qué valores del parámetro real $a$ la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a + 1 & 1 \\ 1 & 1 & a + 1 \\ a + 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ tiene inversa. Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $a = 2$.

Calcule todos los vectores de módulo 2 que son ortogonales a los vectores $\vec{u} = (1, -1, -1)$ y $\vec{v} = (-1, 2, 1)$.

Se dan las rectas $r: x - 1 = y - 2 = \dfrac{z-1}{2}$ y $s: \dfrac{x-3}{-2} = \dfrac{y-3}{-1} = \dfrac{z+1}{2}$. Se pide: a) Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto $P$ de intersección. (5 puntos) b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ y a $s$. (5 puntos)