Practica por temas

Sean los puntos $P \equiv (7, 4, 2)$, $Q \equiv (1, 2, -2)$ y $R \equiv (2, 1, -3)$. Uno de ellos es el centro de un rombo, y los otros dos, dos vértices. Halla los dos vértices restantes.

**Problema 3A.** *(Propuesto por la Comunidad Valenciana, julio 2023)* Sean el plano $\pi \equiv 5x + my + z = 2$ y la recta $r \equiv (x,y,z) = (1,1,0) + t(-1,-1,2)$, $t \in \mathbb{R}$. a) Determinar la posición relativa de $r$ y $\pi$ en función de $m$. **(1.5 puntos)** b) Para $m = 1$ calcular el plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. **(1 punto)**

Hallar la integral indefinida $$\int \frac{3x + 7}{(x^2 - 3x + 2)(x - 3)} \, dx,$$ explicando el método utilizado para dicho cálculo.

6: Considere las siguientes rectas: r: x + 2y = 13, z = 2 s: y + 2z = 4, -x + y = 3 a) [1] Compruebe que ambas rectas se cruzan en el espacio. b) [0,5] Compruebe que el punto P(0, 3, 0) no está en ninguna de las dos rectas. c) [1] Calcule la ecuación del plano (en cualquiera de sus formas) que contiene al punto P y es paralelo a ambas rectas.

Dado el punto $P = (1, 0, 6)$ y la recta: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2 - 6\lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}$$