Practica por temas

La recta $r \equiv \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z - 3}{3}$ y la recta $s$, que pasa por los puntos $P(1, 0, 2)$ y $Q(a, 1, 0)$, se cortan en un punto. Calcula el valor de $a$ y el punto de corte.

Sabiendo que $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ a & b & c \end{vmatrix} = \frac{1}{2}$, calcula razonadamente el determinante de la matriz $$A = \left( \begin{pmatrix} 4a + 2 & 4b + 4 & 4c + 6 \\ 3a & 3b & 3c \\ a + 4 & b & c + 5 \end{pmatrix} \right)^2.$$

Se dan las rectas $r: x - 1 = y - 2 = \dfrac{z-1}{2}$ y $s: \dfrac{x-3}{-2} = \dfrac{y-3}{-1} = \dfrac{z+1}{2}$. Se pide: a) Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto $P$ de intersección. (5 puntos) b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ y a $s$. (5 puntos)

El $75\%$ de los alumnos de un instituto acude a clase en algún tipo de transporte y el resto acude andando. Por otra parte, llegan puntual a clase el $60\%$ de los que utilizan transporte y el $90\%$ de los que acuden andando. Se pide:

Encuentra un valor de $a \neq 0$ para que las rectas $$\begin{cases} x + y - 5z = -3 \\ -2x + z = 1 \end{cases} \quad \text{y} \quad x + 1 = \frac{y - 3}{a} = \frac{z}{2}$$ sean paralelas. Para el valor de $a$ que has encontrado, calcula la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.