Practica por temas

Para el triángulo $ABC$ de vértices $A(0, 0, 0)$, $B(1, 7, 1)$, $C(5, 3, 1)$:

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} (x + a)^2 & x \leq -1 \\ \frac{bx}{\sqrt{x + 2}} & x > -1 \end{cases}$$ Hallar valores de $a$ y de $b$ para que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$.

Considere las rectas $r_1: \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x - z = 2 \end{cases}$ y $r_2: \begin{cases} 2x - y = 2 \\ y - 2z = -2 \end{cases}$.

Encontrar el polinomio de grado dos $p(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que satisface: en $x = 0$ el polinomio vale $2$, su primera derivada vale $4$ para $x = 1$ y su segunda derivada vale $2$ en $x = 0$. Estudiar si el polinomio obtenido es una función par. ¿Tiene en $x = 0$ un punto de inflexión?

Se consideran los puntos siguientes: $A(1, 2, 3)$, $B(-2, 1, 4)$, $C(3, 0, 5)$ y $D(0, -1, 2)$. Se pide: