Practica por temas

Se consideran la recta $r$ cuyas ecuaciones paramétricas son: $$r \equiv \begin{cases} x = t, \\ y = 2 t, \\ z = 0; \end{cases}$$ y el plano $\pi \equiv x + y + z - 2 = 0$. Calcula las coordenadas de un punto $P$ perteneciente a la recta $r$ tal que la distancia de $P$ al plano $\pi$ sea igual que la distancia de $P$ al origen de coordenadas. ¿Es único dicho punto? Contesta razonadamente.

Considera las rectas $$r \equiv \begin{cases} 2x - 3y + z - 2 = 0 \\ -3x + 2y + 2z + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x = 3 - 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}$$

Considera la recta $r \equiv \begin{cases} x + y + 2 = 0 \\ -y + z + 5 = 0 \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv 2x + y - mz = 1$

En un distrito universitario, los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el $20\%$ estudian Matemáticas, el $35\%$ Medicina y el $45\%$ Arquitectura. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del $5\%$, $12\%$ y del $18\%$. Se elige un alumno al azar. Halla la probabilidad de que:

Se dan la recta $r: \frac{x - 1}{4} = \frac{y}{a} = \frac{z - 1}{-1}$ y el plano $\pi: 2x - y + bz = 0$, siendo $a$ y $b$ dos parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: