Practica por temas

Discuta para qué valores de $k$ el sistema siguiente es compatible: $$\begin{cases} x + 2y - z = 8 \\ 2x - 3y + z = -1 \\ 3x - y + kz = 5 \end{cases}$$

Resuélvalo en el caso (o los casos) en que sea compatible.

Calcule el determinante de $A$.

Razone si $A$ tiene inversa y, en caso afirmativo, calcule la inversa de $A$.

Determine el número de filas y de columnas de $X$ para que la ecuación tenga sentido.

Calcule el valor de $X$.

Estudia, según los valores de $m$, el rango de la matriz $A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix}$

¿Coincide $A$ con su inversa para algún valor de $m$?

Determina la matriz simétrica $X$ tal que $X \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ y el determinante de la matriz $3X$ sea $-9$.

Si tomamos una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?

La empresa pronto diversificará la producción y empezará a producir también piezas de titanio, que se venderán en paquetes de 5. Si la probabilidad de que una pieza de titanio sea defectuosa es un valor desconocido $p$, y cada pieza es defectuosa independientemente de las otras, compruebe que la expresión que nos da la probabilidad de que en un paquete de 5 piezas haya exactamente 4 defectuosas (en función de $p$) es $f(p) = 5(p^4 - p^5)$.

Considere la función $f(p)$ del apartado anterior. Determine el valor máximo que toma $f(p)$ cuando $p \geq 0$.