Practica por temas

Una matriz $M$ verifica que $\det(M) = x$. (Los apartados siguientes son independientes.) Se pide:

Una fábrica produce diariamente $x$ toneladas de un producto A y $\frac{40 - 5x}{10 - x}$ toneladas de un producto B. La cantidad máxima de producto A que se puede producir es 8 toneladas. El precio de venta del producto A es $100$ € por tonelada y el del producto B es $250$ € por tonelada.

Dada la parábola $f(x) = ax^2 + bx + c$, determine los valores de $a$, $b$ y $c$ sabiendo que $f$ tiene un máximo en el punto de abscisa $x = -\frac{1}{2}$ y la recta tangente a $f$ en el punto $(1, 3)$ es $y = -3x + 6$.

Se divide un alambre de longitud $100\,\text{cm}$ en dos partes. Con una de ellas, de longitud $x$, se construye un triángulo equilátero y con la otra, de longitud $100 - x$, se construye un cuadrado. Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$.