Practica por temas

Un campo de juego quiere diseñarse de modo que la parte central sea rectangular de base $y$ metros y altura $x$ metros, y las partes laterales sean semicircunferencias (véase dibujo). Su superficie se desea que sea de $4 + \pi \text{ m}^2$. Se debe pintar el perímetro y las rayas interiores de modo que la cantidad de pintura que se gaste sea mínima (es decir, su longitud total sea mínima). Halle $x$ e $y$ de modo que se verifique este requisito.

Considere la función $f(x) = \frac{\ln x}{x}$.

Discute el sistema dependiendo de los valores del parámetro $a$ y resuelve completamente en los casos en que sea posible: $$\begin{cases} x - 2y + z = -2 \\ -x + y + az = 1 \\ 2x + ay + 4z = -2 \end{cases}$$

Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$: $$\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ x + \alpha y + z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 2 \end{cases}$$ Resuelve el sistema en los casos $\alpha = 1$ y $\alpha = 2$.

Se quiere hacer una puerta rectangular coronada por un semicírculo como el de la figura. El hueco de la puerta tiene que tener $16$ metros cuadrados. Si es posible, determina la base $x$ para que el perímetro sea mínimo.