Practica por temas

Discuta, en función del parámetro $\lambda$, el sistema lineal de ecuaciones $$\begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ \lambda x + y + z = 1 \\ x + y + \lambda z = 1 \end{cases}$$

Resuelva el sistema para $\lambda = 1$.

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores no nulos de $\mathbb{R}^3$ perpendiculares entre sí y $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ su producto vectorial. Se definen $\vec{a} = (\vec{u} \times \vec{v}) + \vec{w}$, $\vec{b} = \vec{v} \times (\vec{v} \times \vec{w})$ y $c = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$. Indica si $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $c$ son vectores o escalares (números). Para aquellos que sean vectores, justifica si son paralelos o perpendiculares a cada uno de los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$.

Calcule el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$.

Obtenga un vector $\vec{e}_1$ de $\mathbb{R}^3$ que cumpla $\cos \measuredangle (\vec{e}_1, \vec{u}) = 0$.

Obtenga un vector $\vec{e}_2$ de $\mathbb{R}^3$ que cumpla $\sen \measuredangle (\vec{e}_2, \vec{v}) = 0$.